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2017高一数学知识点总结集合

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XX高一数学集合知识点总结  一.知识归纳:  1.集合的有关概念。  1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素  注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。  ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。  ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件  2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法  3)集合的分类:有限集,无限集,空集。  4)常用数集:n,z,q,r,n*  2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。  1)子集:若对x∈a都有x∈b,则a b(或a b);  2)真子集:a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或 ,且 )  3)交集:a∩b={x| x∈a且x∈b}  4)并集:a∪b={x| x∈a或x∈b}  5)补集:cua={x| x a但x∈u}  注意:①? a,若a≠?,则? a ;  ②若 , ,则 ;  ③若 且 ,则a=b(等集)  3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。  4.有关子集的几个等价关系  ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;  ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。  5.交、并集运算的性质  ①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;  ③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;  6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。  二.例题讲解:  【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z},则m,n,p满足关系  a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m  分析一:从判断元素的共性与区别入手。  解答一:对于集合m:{x|x= ,m∈z};对于集合n:{x|x= ,n∈z}  对于集合p:{x|x= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。  分析二:简单列举集合中的元素。  解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。  = ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,  = p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。  点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。  变式:设集合 , ,则( b )  a.m=n b.m n c.n m d.  解:  当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b  【例2】定义集合a*b={x|x∈a且x b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a*b的子集个数为  a)1 b)2 c)3 d)4  分析:确定集合a*b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。  解答:∵a*b={x|x∈a且x b}, ∴a*b={1,7},有两个元素,故a*b的子集共有22个。选d。  变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为  a)5个 b)6个 c)7个 d)8个  变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.  解:由已知,集合中必须含有元素a,b.  集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.  评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .  【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。  解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.  ∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a  ∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,  ∴ ∴  变式:已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.  解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5  ∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴  又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4  ∴b=-4,c=4,m=-5  【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足:a∪b={x|x>-2},且a∩b={x|1  分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。  解答:a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。  综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}  变式1:若a={x|x3+2x2-8x>0},b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)  点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。  变式2:设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。  解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m  ①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②  综①②得:所求集合为{-1,0, }  【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。  分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。  解答:(1)若 , 在 内有有解  令 当 时,  所以a>-4,所以a的取值范围是  变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。  解答:  点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 转载请注明来源。原文地址:http://m.lw54.com/e/20170305/6836011.html