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贝叶斯统计理论的基本观点与研究现状

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摘 要:贝叶斯统计是当今世界两大主要统计学派之一,贝叶斯方法成功应用于社会科学、经济商业活动、可靠性技术等领域中,本文主要论述了贝叶斯统计理论的起源、基本观点、研究现状及其与频率统计学派的异同点。

关键词:贝叶斯统计;先验分布;后验分布
一、贝叶斯统计理论的起源和基本观点
  统计学中两个主要学派(频率学派(经典统计学派)和贝叶斯学派)之间有着长期的争论,对统计学的发展起到了积极的促进作用。这里主要讨论贝叶斯统计理论的起源、基本观点及其应用。贝叶斯统计起源于英国学者贝叶斯1763年发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。该文包含了一般大学本科概率统计教材中人们所共知的贝叶斯公式,时隔二百多年后的现代贝叶斯学派, 其基本思想和理论依据, 仍然是这个贝叶斯公式。 贝叶斯公式诞生后的100多年,随着统计应用的扩大, 贝叶斯统计受到了很大程度的欢迎,由于其在决策理论和可靠性分析及其它统计学领域中的应用越来越广泛, 现代贝叶斯理论得到了很大的发展。
  贝叶斯学派奠基性的工作是贝叶斯的论文,也许是他自己感到他的学说还有不完善的地方,这一论文在他生前没有发表,而是在他死后由他的朋友发表的。著名的数学家拉普拉斯用贝叶斯提出的方法,导出了重要的“相继律”,贝叶斯的方法和理论逐渐被人理解和重视起来。尽管贝叶斯方法可以推导出一些有意义的问题,但在理论上和实际应用中还是出现了各种各样的问题,因而在19世纪并未被大家普遍接受。20世纪初,意大利的菲纳特,英国的杰弗莱都对贝叶斯学派的理论作出了新的贡献。第二次世界大战后,瓦尔德提出了统计的决策理论,在这一理论中贝叶斯解占有重要的地位;信息论的发展也对贝叶斯学派作出了新的贡献;更重要的是在一些实际应用的领域中,贝叶斯方法取得了成功,贝叶斯学派成了一股不容忽视的力量。
  贝叶斯学派的基本观点是:任一个未知量都可以看作一个随机变量,应用一个概率分布去描述对的未知状况。这个概率分布是在抽样前就有的关于的先验信息的概率陈述。这个概率分布被称为先验分布。有时还简称为先验。因为任一未知量都有不确定性,而在表述不确定性程度时,概率和概率分布是最好的语言。贝叶斯学派很重视先验信息的收集、挖掘和加工,使它数量化,形成先验分市,参加到统计推断中来,以提高统计推断的质量。忽视先验信息的利用,有时是一种浪费,有时还会导致不合理的结论。
二、贝叶斯统计学派与频率统计学派之间的批评
  贝叶斯学派对经典学派的批评主要是下面两点:频率学派对一些统计问题的提法不妥,包括估计问题中的置信区间和假设检验问题,频率统计学派判断方法好坏的标准不妥。贝叶斯学派赞成主观概率,但不等于说主张用主观随意的方式去选取先验分布。
  贝叶斯学派受到的批评集中于以下两点:参数看成是随机变量是否妥当先验分布是否存在,如何选取?而频率学派对贝叶斯学派的批评,主要是针对先验分布。根据频率学派的观点,参数在每一确定问题中都是取一个确定的值,它是一个未知常数,并不具有随机性,因而也就没有任何统计分布。
  在统计推断的基本理论和方法方面,二者存在很大差异。最主要的差别,也是贝叶斯理论的一个重要特征,就是在获得后验分布后,如果把样本原来的统计模型都丢掉,一点也不会影响到将来的推断,凡是符合这个准则的就是贝叶斯推断。据此,矩估计、显著性统计检验和置信区间估计等都不属于贝叶斯推断,而最大似然估计则可视为均匀先验分布之下的贝叶斯推断,因此,作为频率学派中一个很重要的极大似然估计,其实就是在一种特殊先验分布下的贝叶斯估计而已。两个学派各有其成功和不足的地方,都有广阔的发展前景,在实用上是相辅相成的。
三、贝叶斯统计理论的研究现状
  1、先验分布理论的研究。先验分布的选择是贝叶斯统计推断的前提,它大体上可以分为无信息先验分布和共轭先验分布两大类,无信息先验分布一般应满足以下几条性质:不变性、相合的边缘化、相合的抽样性质、普遍性和容许性。
  共轭先验分布是贝叶斯理论中的另一类重要的先验分布,对正态分布N(,)而言,有以下结论:(1)已知,未知时,的共轭分布族为逆伽玛分布;(2),均未知时,参数的共轭分布族为正态—逆伽玛分布;(3)均值向量已知精度阵(定义为协方差阵的逆) 未知时,精度阵的共轭分布族为逆维希特分布;(4)均值向量、精度阵均未知时,参数的共轭分布族为正态—逆维希特分布。
  2、后验分布的统计推断。后验分布是贝叶斯统计推断的出发点与关键所在, 对于一般参数先验分布而言,其后验分布相当复杂,很难纳入目前已知的统计分布类别之中,因此常用基于计算机的方法来计算或近似参数后验分布特征。
四、贝叶斯统计的应用
  贝叶斯方法作为一个新的学派,在实践中获得了广泛应用,提出了很多有效的方法。这些方法的发展都是从简单到复杂,估计的精确度也在不断提高,估计方法更偏向人的思维模式,易于被大家接受。从国内外的文献资料来看,贝叶斯统计推断理论几乎可以作为每一个学科的研究工具之一,它既可以用于临床试验、医学检查、质量控制、软件质量评估、缓慢周转物品的存储问题、核电站可靠性评价,又可应用于水文事件频率的估计、犯罪学不完全记数的估计以及保险精算;近年来贝叶斯统计理论在宏观经济预测中取得了巨大的成功,从模型的稳定性和预测精度两个方面来看,贝叶斯预测模型优于非贝叶斯模型,因此贝叶斯方法获得越来越多专家学者的认同。
  与国外相比较,贝叶斯统计理论在我国的应用与发展尚属起步阶段,但近年来我国学者逐步认识到该理论的重要性,并对此开展了一系列的研究,因此, 我们相信贝叶斯统计理论在我国能得到迅速发展,并很快跟上世界主流。

参考文献
[1]茆诗松.贝叶斯统计 中国统计出版社 1999.
[2]吴喜之.现代贝叶斯统计学 中国统计出版社 2000.
[3]张尧庭,陈汉峰.贝叶斯统计推断 科学出版社 1991.
[4]茆诗松.高等数理统计 高等教育出版社 2006.

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