㈢、题目立意的反思：即所解决的问题有什么意义？还有哪些问题需要进一步解决？

　　经过这三步的反思训练，让学生在解决问题时，对解题过程进行反思、提炼、概括、整理，确定解题关键，回顾解题思路，概括解题方法，使学生的思维朝着灵活、精细和新颖的方向发展,在对问题本质的认识不断深化的过程中提高学生的概括能力,以促使学生形成一个系统性强、相互联系的数学认知结构。如在学习了“三角形中位线”内容后，出示例题“求证:顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.”在此例教学后,教师让学生完成下面问题并证明：

　　⒈顺次连结平行四边形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒉顺次连结矩形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒊顺次连结菱形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒋顺次连结正方形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒌顺次连结对角线互相垂直的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒍顺次连结梯形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒎顺次连结等腰梯形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　⒏顺次连结直角梯形的四条边的中点所得四边形是什么四边形?

　　显然学生只要反思例题的探索过程，让学生在回顾中迁移，在反思中猜想，轻而易举地就能完成教学任务，并发现了以下规律：

　　(1)顺次连结对角线既不垂直又不相等的四条边的中点所得四边形为一般的平行四边形。

　　(2)顺次连结对角线相等但不垂直的四条边的中点所得四边形为菱形。

　　(3)顺次连结对角线互相垂直但不相等的四条边的中点所得四边形为矩形。

　　(4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四条边的中点所得四边形为正方形。这样反思过程，既使学生对知识留下了深刻的印象，掌握了解决问题的方法，又使学生深刻体会到反思的优势所在，乐于在今后的学习中反思，有利于学生反思习惯的养成。

　　二、解后反思——触类旁通

　　解后反思是指解完一道题后，对题目本身的结构及解题的过程进行认真回顾，深入探究，以图举一反三，触类旁通,提高解题能力。它一般分以下几方面反思：理解题目的结构，形成迁移；重新评价解题方法，找出最佳解法；分析题目的步骤，抓住解题关键；变换问题的条件和结论，使问题系统化。例如，求证方程（x—a）（x－a－b）=1有两个实数根，并且，其中一个根大于a，另一个根小于a这道题时，除了常规方法先证明方程有两个根，然后将两个根解出来，再进行判断外，可引导学生探索其他证法，从而培养学生的发散性思维，激发学生学习数学的兴趣。

　　证法一（利用韦达定理）

　　将方程化为一般形式

　　x2－(2a＋b)x＋a（a＋b）－1＝0

　　因为⊿=（2a＋b）2－4［a（a＋b）－1］＝b2＋4＞0

　　所以方程有两个实数根。

　　设方程两根分别为xl和x2，且设x1＞x2。根据韦达定理，得

　　xl＋x2＝2a＋b，xlx2＝a（a＋b）－1

　　因为（xl－a）（x2－a）＝xlx2－a(xl+x2）＋a2

　　=a（a＋b）－l－a（2a＋b）＋a2

　　=－10

　　所认x1－a与x2－a异号。

　　又由假设x1＞x2，得x1＞a，x2a

　　证法二（利用换元法）

　　设y＝x－a，则原方程化为

　　即

　　y（y－b）＝l

　　y2一by一l=0

　　因为，⊿=b2＋4＞0，所以，方程有两个实数根。

　　因为，yly2＝－1＜0，所以，方程的两根异号。

　　由此可知，原方程的两根中，一个根大于a，另一个根小于a。

　　证法三（利用图像）

　　设f（x）=(x一a）（x－a－b）－l，这是二次函数，其图像是开口向

　　上的抛物线。由于f（a）=一1＜0，且抛物线开口向上，于是抛物线与x轴

　　必有两个交点，且这两个交点位于直线x=a的两侧，所以，原方程有两个实

　　数根，且一个根大于a，另一个根小于a。

　　由此可见，学生能做好解后反思，必定会激起其探求数学奥秘的动机，对数学学习产生浓厚的兴趣，找出很多规律，对所求问题作开拓性思考，引出新题和新方法，久而久之，就可以使新的知识体系得到整合，思维在反思中升华，从而学到总结归纳的方法。