有关抽象函数的全面探析(471字)

　　有关抽象函数的全面探析

　　摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。

　　关键词：抽象函数;定义域;值域;对称性

　　抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

　　解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

　　一、抽象函数的定义域

　　例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域。

　　解析：由由a>0

　　知只有当0

　　点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的`值域。

　　二、抽象函数的值域

　　解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

　　例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。

　　解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。

　　三、抽象函数的奇偶性

　　四、抽象函数的对称性

　　例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为( )

　　A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定

　　解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，∴y=也是奇函数，∴。∴ ，，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)=故选A 。

　　五、抽象函数的周期性

　　例4、(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )

　　(A) 是偶函数 (B) 是奇函数

　　解: ∵与都是奇函数，，

　　函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D

　　定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)=f (x-b)，则y=f (x) 是以T=a+b为周期的周期函数。

　　定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)= -f (x-b)，则y=f (x) 是以T=2(a+b)为周期的周期函数。

　　定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b (a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b-a)为周期的周期函数。

　　定理4.若函数y=f (x)的图像关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数。

　　定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b-a)为周期的周期函数。

　　性质1：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a-b);

　　性质2：若函数f(x)满足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a-b).

　　特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

　　性质3：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a-b).

　　特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。

　　从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。

　　[1]陈诚.抽象函数问题分类解析[J].数理化学习·，2008(8).