浅谈数学研究性学习的实践与认识

　　圆锥曲线的本质是几何问题代数化，有些习题看起来很平常，实际上反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓，是创新思维的生长点，这就需要教师适时引导学生不断的发展，引申，变迁问题，进行研究性学习，从而培养学生发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力.图1

　　学生很快呈现出本题的代数计算过程.

　　解析：若直线l与x轴重合，命题显然成立.

　　若直线l不与x轴重合，设直线l的方程为my=x-1，

　　联立my=x-1

　　平面中，两条不平行的直线相交于一点是显然的，但是3条直线相交于同一点应该不仅仅是巧合，背后到底“隐藏”着什么样的数学原理呢？我们能不能从问题出发，试着对问题进行一般化研究，变式研究，推广研究，类比研究，甚至可以研究这一类问题的本质.

　　一个星期后的数学课上，学生互相交流探讨所研究的问题与结论，学生对于问题的变式研究，类比研究大大超出我的预料，在课上，每个同学都积极参与，力求用最精炼的语言表达结论，用最严谨简洁的过程证明结论的正确性，课后学生齐心协力，更是挖掘了问题的本质.1问题探究，披沙拣金

　　拓展研究一平面直角坐标系中，椭圆C：x29+y25=1的左、右顶点分别为A、B，经过点（1，0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，则直线AM、BN的交点轨迹是直线x=9.

　　第二个结论是对第一个结论的推广，证明了在任意椭圆中这样两直线的交点轨迹均是直线，轨迹方程只与直线所过的定点和椭圆中的系数a有关.

　　前面已证直线AM、BN的交点P（a2t，yp），易得OP?OT=a2.

　　看到这样的结果，学生脸上露出惊讶的表情，他们从中体会到数学的神奇，一个看似很平常的问题，竟然得到这么和谐漂亮的结论.

　　经过不断的拓展研究，条件不断的一般化，直线过x轴上任意一点T（t，0）（t≠0）推广为过平面内任意一点时向量点乘积为定值的结论依然成立.

　　证明过程类似，从略.

　　如果将椭圆改为圆，结论也成立.圆可以看作是椭圆的特殊情况，在计算的过程中a、b的大小是否相等并不影响计算的结果，.

　　从三线共点到结论“OP?OQ=a2”如此简洁，如此美妙，直觉告诉我们这决不是偶然，肯定有其必然性，研究后发现本题有丰富的背景，它与极点和极线的知识有关.

　　实际上，关于极点和极线，有如下两个常用的结论：图2

　　E，F，G，H，设EG，FH交于M，EH，FG交于N，则称MN为点P对应

　　的极线，同理，称PN为点M对应的极线，PM为点N对应的.极线；

　　（2）对于椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（x0，y0）对应的极线为

　　有了极点极线知识，我们所拓展研究的问题就很容易解释了：

　　当直线l过x轴上任意一点T（t，0）（t≠0）时，点T（t，0）对应的极线为过点P且垂直于x轴的直线x=a2t，此时P（a2t，y0），所以OP?OT=a2.

　　当直线l过平面内任意一点T（t，s）（s≠0）时，直线l与x轴的交点为Q（m，0），点Q对应的极线还是过点P且垂直于x轴的直线x=a2m，此时P（a2m，y0），所以OP?OQ=a2.2研究性学习实践的认识

　　课堂是教学变革的主战场，研究性学习只有根植于课堂，变成课堂教学中的一种常用方式，才能由一种开放的教育思想变为可行的教学实践，才能真正发挥其应有的价值[1].在理论学习和教学实践中，数学课堂探究性学习必须依照数学学科的特点，努力凸显其固有的问题性、自主性、过程性和开放性.

　　2.1问题性

　　“问题是数学的心脏”，它促使人们对数学本质的探索，推动人们对数学真理的发现.没有问题也就难以诱发和激起探究欲望，感觉不到问题存在也就不会生成认知上的需要，就不会深入思考，学习也只能是表面和形式的训练.数学研究性学习强调通过问题来进行学习，把问题看成学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线[2].教学中，教师要关注课本例题和习题的结论，应该主动地寻找知识的生长点和思维的发散点，不断地发展引申、变迁问题，进行探究.通过学习生成问题，把数学学习看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.