例1，如图2所示，有两个质量分别为M和m的质点，其中质点M固定不动，m经任意路径由a点移到b点，求在此过程中万有引力所做的功。

　　分析求解:取M的位置为参考点，设a、b两点距M的距离分别为ra和rb。设在某一时刻质点m距质点M的距离为r，相对于M的位置矢量为r，er为位置矢量r的单位矢，此时m受M的万有引力为F=-G。

　　在m沿任意路径由a点移到b点的过程中，F为变力，不能用恒力做功的公式。我们可以取一位移元dr，在此位移元中，F可近似看成是恒力，则在此位移元中F所做的功为:

　　dA=Fdr=Fcos(π-θ)|dr|=-Fcosθ|dr|(1)

　　由于|dr|cosθ=dr代入(1)式得dA=-G。

　　当质点m从a点沿任意路径到达b点，F所做的功为:A=dA=-Gdr=GMm(-)

　　这个例题是质点力学中把复杂物理问题进行空间范围上的有限次分割，然后在有限小的局部范围内进行近似处理，再通过微积分将有限向无限的转化，实现由近似到精确求解的一个典型例题。

　　下面再举一个质点力学中把复杂物理问题进行时间范围上的有限次分割的典型例题。

　　例2，有一冲力作用在质量为0.3kg的物体上，已知力的大小F随时间t的变化规律为:

　　25×104t0≤t≤0.02

　　2.0×105(t-0.07)20.02≤t≤0.07

　　式中F的单位为N，t的单位为s。求0～0.07s时间间隔内F的冲量大小。

　　分析求解:在0～0.07s时间内F为变力，不能用恒力冲量的公式。我们可以任取一时间元dt，在此时间元中，F可近似看成是恒力，则在此时间元中F的冲量大小为:dI=Fdt

　　这个例题是质点力学中把复杂物理问题进行时间范围上的有限次分割，然后在有限小的局部范围内进行近似处理，再通过微积分将有限向无限的转化，实现由近似到精确求解的一个典型例题。

　　三、三个基本守恒定律的提出

　　质点力学指出，当力作用于质点或质点系时，往往有一段持续时间，或者持续一段距离，这就是力对时间的积累作用以及力对空间的积累作用，在这两种积累作用中，质点或质点系的能量、动量或角动量将发生变化或转移。当系统外力满足一定条件时，在变化过程中的系统作为整体可能出现守恒的运动量。在质点力学中，由牛顿定律推出了机械能守恒、动量守恒和角动量守恒三个守恒关系，使复杂的力学研究得以简化。但是能量守恒与转化定律、动量守恒定律和角动量守恒定律的适用范围比牛顿定律更为广泛，它们不仅适用于力学，而且为物理学中各种运动形式所遵守。例如在微观领域中，牛顿定律已不适用，但这些守恒定律依然适用。比如爱因斯坦光电效应方程的提出，就是在微观领域中运用了能量守恒与转化定律;而康普顿效应的解释，则是在微观领域中运用了动量守恒定律及能量守恒与转化定律。

　　在物理学中，守恒定律是最强有力的分析手段。它们的实质是:在某种确定环境下，相互作用的物体无论发生什么样的变化，仍然有这种或那种可测度的量(如能量、动量、角动量等)的总和，在整个观察期间保持不变。守恒定律能透过零乱复杂的表面变化，指出一种或几种潜在的内部稳定性，这种稳定性一旦被确认，系统便由混乱变得井然有序。我们可以通过下面的例题略见一斑。

　　例3，如图3所示，一质量为1kg的小球系在长为lm的细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅垂线成30°角处，然后放手使小球沿圆弧下落，试求绳与铅垂线成10°角时小球的速率。

　　分析求解:当绳与铅垂线的夹角为θ时，小球受到绳的拉力T和重力mg的作用。由于小球在运动的过程中T是变化的，因此用牛顿定律解决此题比较麻烦。但由于T方向始终与小球的运动方向垂直，在小球运动的过程中不做功，而mg则是保守力，因此小球在运动的过程中满足机械能守恒的条件。

　　先设小球质量为m，绳长为L，在起始时刻绳与铅垂线的夹角为30°，小球的速率v0=0;当绳与铅垂线的夹角为10°时，小球的速率为v。并设小球的末位置所在水平面为零势面，由机械能守恒定律得:

　　mgh=mg(Lcos10°-Lcos30°)=mv2

　　例4，一静止的物体，由于内部作用而炸裂成三块，其中两块质量相等，并以相同的速率30ms-1沿相互垂直的方向分开。第三块质量3倍于其它任一块的质量，求第三块的速度大小和方向。